Números negativos e as operações de multiplicação e divisão

 

 

Introdução aos números negativos e cálculos envolvendo multiplicação e divisão

Objetivo
Realizar cálculos com números negativos envolvendo multiplicação e divisão

Conteúdos
Multiplicação e divisão

Anos
7º ao 9º

Tempo estimado
Nove aulas


Desenvolvimento
1ª etapa
Levando em conta que a turma já sabe resolver problemas que envolvem adições e subtrações de números negativos, você pode trabalhar com somas algébricas e simplificações das escritas. Para efetuar a simplificação, há duas maneiras:
a)
(+2) + (-5) + (+4)
=(+2) - (+5) + (+4)
= 2 - 5 + 4
Transformando todos os números em números positivos.  Nesse caso, o sinal - que sobra é um sinal de subtração.

b)
(+2) + (-5) + (+4)
= +2 - 5 +4
= 2 - 5 + 4
Retirando os sinais de adição e parênteses. Retirando o sinal + do número +2, os sinais que permanecem são sinais posicionais.

Os únicos sinais + são sinais de adição. Ou seja, (+2) + (-5) + (+4) escreve-se 2 + (-5) + 4. Transformando a adição em subtração, temos 2 - 5 + 4. Os únicos sinais que permanecem são sinais de operação, exceto no caso onde a soma algébrica começa com um número negativo.
Proponha, então, somas de vários relativos:

• Média de temperaturas, com temperaturas opostas

• Somas algébricas ou somas de vários relativos

• Deslocamento de elevador.

Por exemplo, descreva oralmente os movimentos do elevador "sobe 7 andares, desce 3 andares..." Eles devem tomar nota e resumir a sequência de deslocamentos. Por exemplo: 7 + (-3) + 2 + (-6) + 5 + …. Ou 7 - 3 + 2 - 6 + 5 …… Desafie-os também a escolher um número, adicionar 7, subtrair 9, adicionar -2, subtrair -4. "Por que encontramos o número inicial?" E, por fim, a calcular 1.243 - 35 + 34 etc. Dessa vez, os cálculos são interpretados como uma soma algébrica de números relativos. A ideia aqui é compreender que para realizar uma sequência de adições e subtrações de números relativos podemos transformá-la em uma sequência de adições. Assim, os opostos se neutralizam e podemos reagrupar os negativos entre eles e os positivos entre eles.

2ª etapa
Apresente os seguintes problemas de cálculo:

Problema 1: Escolher um número, pegar o seu oposto e adicionar 10.

Problema 2: Escolher um número e subtrair 10.

Realize os dois cálculos com os números 7, 15, -4 e -27. O que é possível observar comparando todos? É esperado que os alunos escrevam os dois problemas utilizando expressões numéricas: a notação oposto(x) + 10 para o problema 1 e 10 - x para o problema 2. A turma deve notar que 10 - x = 10 + oposto(x), utilizando a definição da subtração de dois relativos. Assim, é possível demonstrar que os dois problemas são iguais. Feito isso, introduza a noção de (-x), propondo a seguinte justificativa: Quando os números negativos foram introduzidos, tínhamos 7 - 9 = 5 - 7 = 3 - 5 =…= 0 - 2= -2 . Do mesmo modo: x + oposto(x) = 0. Então oposto(x) = 0 - x = -x. Nesse momento, é importante chamar a atenção para a mudança de status do sinal de menos, que de sinal de subtração passa a ser o símbolo do oposto de um número. Voltando para os problemas, agora já é possível escrever: 10 - x = 10 + (-x) = -x + 10. Proponha que todos preencham o quadro:

x	3	-4			-0,2
-x			7	1,5

Chame a atenção sobre o fato de que - x pode ser positivo quando x for negativo.

3ª etapa
Conte aos estudantes que daqui em diante o objeto de estudo será o produto de dois números negativos. Proponha que completem as seguintes igualdades:

-3 + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) =
-5 + (-5) + (-5) =
-2,3 + (-2,3) + ............... + (-2,3) + (-2,3) =
                             100 termos
0 x 2 =
0 x (-3) =

Provavelmente, eles começarão pela adição para, em seguida, perceber que é mais rápido utilizar a multiplicação entre positivos, pois já sabem fazê-la, e depois colocar o sinal - diante do resultado. Essa observação permite que encontrem a soma dos 100 termos calculando 2,3 x 100 = 230, sem realizar a adição e dando a resposta -230.
Alguns ficam surpresos ao descobrir que as regras de sinais da adição não são válidas para a multiplicação. Por exemplo, o resultado de (-3) x 5 é negativo, mesmo 5 sendo maior que 3. Ao mesmo tempo, eles admitem sem dificuldade que o produto de qualquer número por 0 é igual a 0, como acontece com os positivos que conhecem.
 4ª etapa
Peça os cálculos:
(-3) x 6 =
3 x (-6) =
(-4,2) x 8 =

Os alunos têm condições de prever o resultado, porque podem, como aprenderam na etapa anterior, substituir mentalmente cada multiplicação por uma adição repetida que eles conhecem: 6 vezes (-3), 3 vezes (-6), 8 vezes (-4,2).

5ª etapa
Apresente uma multiplicação que não pode ser substituída por uma adição repetida, pois nenhum dos fatores pode desempenhar o papel de "número da vez". Por exemplo: 4,2 x (- 8). Os estudantes tendem a presumir facilmente o resultado. Trata-se, então, de provar que é -33,6. Diga a eles que estendam a distributividade da multiplicação em relação à adição ao conjunto de números que conhecem e que o produto por 0 dê 0 como já sabemos. Tendo em vista essas propriedades, é possível demonstrar a hipótese sobre o resultado de 4,2 x (-8). Faça a demonstração no quadro, buscando a participação de todos. Escreva: "Sabemos que 4,2 x 8 = 33,6 e presumimos que 4,2 x (- 8) = - 33,6. A hipótese consiste em dizer que esses dois números são opostos. Fazemos a verificação calculando a soma: 4,2 x 8 + 4,2 x (-8).
Como mantemos a distributividade da multiplicação em relação à adição, podemos fatorar: 4,2 x 8 + 4,2 x (-8) = 4,2 x [(-8) + 8] = 4,2 x 0 = 0. Esses dois números são opostos, pois a soma deles é zero. Assim, a hipótese está provada".

Você pode propor também uma segunda demonstração se os alunos estiverem familiarizados com a introdução de números negativos exposta acima, ou seja, se eles substituírem facilmente -8 por 0 - 8. Essa demonstração usa a distributividade da multiplicação em relação à subtração. A ideia é substituir (-8), com o qual não sabemos calcular, pelo número positivo 8, utilizando a possibilidade de substituir (-8) pela diferença 0 - 8, o que faz mudar a natureza do sinal - :
4,2 x (-8) = 4,2 x (0 - 8) = 4,2 x 0 - 4,2 x 8 = 0 - 33,6 = -33,6

6ª etapa
Desafie o grupo a apresentar o resultado de (-5) x (-3). Reúna as hipóteses apresentadas pela classe, geralmente 15 e -15:
-15 = 5 x (-3) = (-5) x 3
15 = 5 x 3

Eles são números opostos. Explique para o grupo que é necessário provar qual dos dois resultados é o correto. Monte duplas e oriente a turma a investigar. Com a ajuda da propriedade distributiva, os estudantes provavelmente vão notar que a segunda hipótese é a correta. Se isso não acontecer, ajude os alunos com base nas hipóteses deles:

•   Se (-5) x (-3) = -15, é preciso que, ao adicionar esse número a 15 = 5 x 3, o resultado seja 0.

• Se (-5) x (-3) = 15, é necessário que, ao adicionar esse número a -15 = 5 x (-3) = (-5) x 3, o resultado seja 0.

A busca de uma solução permite chegar a um acordo sobre o cálculo a ser feito usando a distributividade para fatorar a soma (-5) x (-3) + (-5) x 3 = (-5) x [(-3) + 3] ou então, (-5) x (-3) + 5 x (-3) = [(-5) + 5] x (-3) ou ainda, se alguns começaram assim, podemos calcular também [(-5) = 5] x (-3) ou com base no efeito da multiplicação por 0 apresentada anteriormente, podemos escrever:

-5 x (-3) = -5 x (0 - 3) = -5 x 0 - (-5) x 3 = 0 - (-15) = 0 + 15 = 15

Em todos os casos, encontramos 15 e não -15, resultado que pode parecer evidente para muitos. Feito isso, encaminhe a garotada para a elaboração de um resumo do que foi aprendido sobre o produto de dois números até o momento. É esperado que o grupo escreva algo como: "Para multiplicar dois números relativos, multiplicamos os valores numéricos e para encontrar o sinal do produto aplicamos as seguintes regras:
- o produto de dois números positivos é positivo.
- o produto de um positivo e de um negativo é negativo.
- o produto de dois negativos é positivo" .

7ª etapa
Peça a resolução dos seguintes cálculos e questione o que podemos notar sobre o resultado do produto de um número por (-1)?
(-1) x  3 =
(-1) x (-4) =
(-3,2) x (-1) =
7,6 x (-1) =
(-1) x  (-1) =
(-1) x  0 =
(-1) x  1 =

É importante os estudantes observarem que o produto de um número multiplicado por (-1) é o oposto desse número. É possível demonstrar isso de outra forma, presumindo que é o oposto de x.

Para se certificarem, podem fazer a adição:
x x (-1) + x = x x (-1) + x x 1 = x x [(-1) + 1] = x x 0 = 0
Portanto, x x (-1) é o oposto de x.

Lembre-se de que essa propriedade da multiplicação por (-1) é muito útil para demonstrar resultados em álgebra, principalmente:
-3 x = (-3) x x, mas também -3 x = (-1) x 3 x x = 3 x (-1) x x = 3 x (-x)
Ou (-x) x (-y) = (-1) x x x (-1) x y = (-1) x (-1) x x x y = x x y
Ou ainda - (x + 2) = (-1) x (x + 2) = (-1) x 2 = -x + (-2).
Ou ainda - (x+2) = (-1) x (x+2) = (-1) x x + (-1) x 2 = -x + (-2).

Nessa etapa, converse também com o grupo sobre os status do sinal de menos. Ele pode ser o sinal da subtração, o sinal dos números negativos e o sinal que designa o oposto.

8ª etapa
Vamos trabalhar a questão da multiplicação de menos por menos com uma ilustração geométrica:

Entregue uma cópia do desenho acima para cada aluno. Se acrescentarmos o ponto A da abscissa 1 na reta (d) o ponto A’ deverá ter, como abscissa, o produto de 1 por (-1) na reta (d’). Peça que continuem acrescentando cada ponto de abscissa inteira a seu produto por (-1). A multiplicação por (-1) corresponde a uma simetria central: todos os segmentos se interceptam no centro de simetria. Um ponto de (d) e seu simétrico em (d’) têm abscissas opostas. Esse desenho ilustra que a multiplicação por (-1) dá o oposto do número inicial. É possível fazer essa transformação em uma única reta, associando um ponto da reta com o ponto cuja abscissa é seu produto por (-1). O centro de simetria seria o ponto de abscissa 0. Porém, decidiu-se dobrar a reta para dar mais legibilidade.

9ª etapa
Desafie os estudantes a verificar a seguinte igualdade: a, b, c são 3 números tais que
a x b x c = -100. Há números que comprovam essa igualdade? Os valores podem ser descobertos sem procurarmos os valores de a, b, c:
a x 2 x b x (-5) x c
a x (-6) x c x b
(-a) x b x c
(-a) x (-b) x c
a x b x c + 1
a x c x a x b x a x c x b
a x 2 x c x 2 x b x2 x a

O objetivo da atividade é trabalhar não somente as propriedades da igualdade mas a associatividade e a comutatividade da multiplicação. Os alunos podem encontrar várias soluções, como 5 x 2 x (-10) e (-10) x (-10) x (-1).
As duas últimas expressões são problemáticas, porque o resultado ainda tem uma letra. Isso costuma espantar os estudantes, embora eles já devam estar habituados que um resultado nem sempre é um número.
Note que há um progresso ao se escrever o resultado na forma de - 200 a: basta saber o valor de a para encontrar o resultado, sendo que antes era preciso a, b, e c.

10ª etapa
Desafie a classe a solucionar uma série de questões:

1. Encontre o sinal sabendo que a, b e c são números relativos não nulos. E que a e b são números negativos e c é um número positivo.

	É sempre positivo	É sempre negativo	Depende
a x b
ac
abc
a² = a x a
c²
-a
-c
a x (-c)
a + b
b + c

Essa tarefa pode ser difícil para a turma, mas importante porque permite reutilizar a notação (-a) e faz com que os alunos lancem mão da regra dos sinais com exemplos literais. Você pode propor que a atividade seja realizada em duplas.

2. Observe o desenho e prove que se x é negativo, y também é. Expresse y em função de x.

3. Sabendo que a = (-3) e b = (-4), calcule:
a + b =
a - b =
ab =
a² = a x a
-a =
2a =
2a + 3b + 7 =

A moçada pode apresentar dificuldades para usar -(-3). É bom lembrar que o sinal (-) nesse caso significa o oposto de (-3). Vale também questionar se para calcular 2a, é válido recolocar o sinal x. Alguns estudantes que não pensam em colocar o sinal x confundem o cálculo com a subtração 2-3.

4. Utilizando os números -4, -1, 2, 3, -10 e -6, encontre -100.
Alguns exemplos de soluções:

(3 - (-1) - (-6)) x (-10)
(3 x 2 - (-4)) x (-10)
(-1 + 3 - (-4) x 2) x (-10)
(-4 - (-6)) x (2 + 3) x (-4)
(3 x 2 + (-4) x (-1)) x (-10)

Caso alguém encontre expressões que resultam em 100, podemos lembrar da multiplicação por (-1), que dá o oposto.

5. Se pegamos um número, multiplicamos por 2 e adicionamos (- 10), encontramos 20. Sabendo isso, qual é o número inicial?

11ª etapa
Antes de abordar o quociente com números negativos, é importante rever essa noção com números positivos. Peça que a garotada complete as igualdades seguintes com um valor exato:
2 x ….= 54
….. x 3 = 2.004
5 x ….. = 14
4 x  …..= 1
….. x 0,4 = 3,2
3 x …..= 4

As dificuldades costumam ser sempre as mesmas. Para 4 x ...= 1, por exemplo, os estudantes dizem que é impossível, pois 1 é menos que 4. Essa é uma concepção da multiplicação como uma operação que aumenta sempre. Certamente uma consequência da introdução da multiplicação de inteiros como uma adição repetida. Para 3 x ...= 4, eles propõem soluções decimais: 1,33; 1,333. É preciso voltar ao status de número da fração 4/3 , destacando que ele é aquele que, multiplicado por 3, resulta em 4: 3 x 4/3 = 4 . Ou seja, é o quociente de 4 por 3.

12ª etapa
Oriente a garotada a completar as igualdades seguintes com um valor exato:
(-3) x ... = (-36)
... x 4 = (-12)
(22) x ... = 18
... x 5 = (-16)
(-10) x ... = 3
(-0,2) x ... = (-7)
3 x ... = (-4)
(-6) x ... = 11
(-9) x ... = (-7)

As primeiras igualdades têm como solução um número decimal ou inteiro que obtemos fazendo uma divisão. A regra dos sinais da multiplicação ajuda a determinar o sinal da solução. Generalizando, eles devem deduzir a regra dos sinais para a divisão de dois números relativos e notar que é a mesma da multiplicação. Para os três últimos, a solução não é um decimal e, por isso, encontram as dificuldades da etapa precedente.
Dê a definição de -4/3 , de 11/-6 e de -7/-9 como quocientes, sem tocar nos sinais por enquanto. É importante destacar que para dividir dois números relativos é necessário dividir as partes numéricas e levar em conta que a regra dos sinais é a mesma que a da multiplicação. Por exemplo: (- 36) dividido por  (- 3) = 12 e 18 dividido por (-2) = 9 e - 4/3 é o quociente de (-4) por 3.

Avaliação
Desafie o grupo a completar as igualdades abaixo. Em cada caso, é preciso dar o número que falta na forma decimal e na fracionária também:
(-3) x …..= (-36)
3 x ….= 36
3 x ….= (-36)
(-3) x …..= 36

Encaminhe uma conversa para explicar que é possível deduzir que:

e


Mas, como

temos



Se admitirmos que a regra da simplificação das escritas fracionárias se estende para os números negativos, é possível provar também que:

e que

Aproveite a ocasião para conferir novamente a ideia: "Se multiplicamos um número por -1 obteremos seu oposto".

Encerre o trabalho pedindo que a turma registre a regra dos sinais para os quocientes de números relativos:

  denomina um número positivo.

E

- 36/3 = 36/-3 denomina um número negativo.


Portanto,


Fonte: Texto Enseigner les Nombres Négatifs au Collège, elaborado pelo Instituto de Pesquisas no Ensino de Matemática (Irem, sigla em francês) da Aquitânia, na França.

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As diferentes formas do carbono

Fundamental para a existência da vida, seus átomos se ligam de diferentes maneiras e dão origem às mais variadas substâncias

Objetivos
- Estudar o elemento químico Carbono e configuração eletrônica
- Aprender a hibridização dos orbitais nas ligações covalentes
- Identificar as diferentes formas alotrópicas do carbono e suas propriedades
- Entender a estrutura do grafeno

Conteúdos
- Ligações covalentes
- Hibridização dos orbitais
- Alotropia do elemento químico carbono
- Estruturas e propriedades do grafite, diamante, fulerenos, nanotubos e grafeno
- Importância da descoberta do grafeno

Tempo estimado
Duas aulas

Anos
Ensino médio

Material Necessário
- Cópias da reportagem da revista Veja "O início da era do grafeno" (Veja, 9 de outubro de 2013, 2342)
- Balões de borracha (bexigas coloridas utilizadas em festas infantis)
- Figuras dos objetos: lápiz, diamante e bola de futebol


Desenvolvimento
1ª etapa
Inicie a aula questionando os alunos se eles conhecem o elemento químico carbono, o que já ouviram falar sobre o assunto, se conhecem algum composto formado por carbono e o que sabem sobre sua importância.

Durante essa discussão, enfatize a importância desse elemento químico para a vida, diga que todos nós somos feitos de moléculas que possuem carbono, que esse elemento forma diversos compostos como, por exemplo, o CO2, importante para o ciclo das plantas, ou hidrocarbonetos, essenciais para a indústria de petroquímica.

Para dar início ao conteúdo, diga que o carbono é um elemento não-metálico, de massa atômica igual a 12 e número atômico igual a 6 (anote essas informações no quadro) e mostre sua localização na tabela periódica.

Faça no quadro a distribuição eletrônica de Linus Paulling para o carbono e com ajuda da tabela periódica mostre que esse elemento está localizado na família 4ª e que possui quatro elétrons na camada de valência, que é a camada mais externa do átomo.

                                                                        1s22s2[2p23s2]

Explique à turma que por esse motivo o carbono é considerado um elemento tetravalente, ou seja, faz até quatro ligações com outros átomos afim de se estabilizar segundo a Regra do Octeto, que0 estabelece a necessidade de alcançar oito elétrons na camada de valência através da ligações.
Relembre a definição de ligação covalente, explicando que no caso do carbono, que possui uma eletronegatividade intermediária, não doa nem recebe elétrons, mas se estabiliza por meio do compartilhamento de elétrons por ligações covalentes comuns simples, duplas e triplas.

Para explicar esses três tipos de ligação covalente, diga aos alunos que elas só são possíveis porque o carbono tem a capacidade de hibridizar seus orbitais e que a palavra hibridização se refere à uma mescla de duas espécies diferentes para formar uma nova espécie de características intermediárias àquelas das espécies que a originaram. Por exemplo, no estado fundamental o carbono tem dois elétrons no orbital 2s2, e um elétron no orbital 2px e 2py, ficando assim o orbital 2pz vazio. Um dos elétrons do orbital 2s2 é então ativado e promovido para o orbital 2pz que estava vazio.

Na hibridização, pode ocorrer a mescla entre os obitais "s" e "p" da camada de valência formando os orbitais híbridos sp3. Essa nomenclatura vem do fato do orbital híbrido ter um orbital "s" e três orbitais "p". O carbono pode então fazer quatro ligações do tipo sigma (σ), todas iguais e de mesma energia.

Mostre como esse processo ocorre, passo a passo, enquanto faz a explicação acima.

Para exemplificar a geometria dos orbitais hibridizados e a distância entre eles, monte um esquemas com bexigas. Para o orbital sp3 amarre quatro bexigas juntas e explique para os alunos que o nó representa o carbono e a ponta de cada bexiga representa o elemento que está ligado ao carbono, assim, a bexiga representa o orbital híbrido. Deixe a bexiga cair sobre uma superfície plana, ou segure uma das bexigas e elas estarão, naturalmente, no formato do orbital desejado, auxiliando a compreensão dos alunos através dessa representação visual.

Na explicação do orbital sp2 , diga aos alunos que o processo é muito semelhante ao da hibridização sp3, porém nessa hibridização apenas dois orbitais p se "misturam" ao orbital "s", formando os orbitais sp2 (um orbital "s" e dois orbitais "p") e deixando um orbital "p puro", onde ocorre a ligação do tipo pi (π). Desse modo, o carbono sp2 faz três ligações do tipo sigma e uma ligação do tipo pi.

Assim como realizado anteriormente, para exemplificar o orbital sp2 amarre três bexigas, já que o carbono está ligado a três elementos. Se achar necessário, utilize uma bexiga de cor diferente para mostrar o orbital pi paralelo, onde a ligação dupla ocorre e repita o mesmo procedimento com a bexiga para mostrar a forma do orbital.

Para finalizar a explicação dos tipos de hibridização, diga aos alunos que na formação do orbital sp1, durante a hibridização, apenas um orbital p "se une" ao orbital s (um orbital s e um orbital p), deixando dois orbitais "p puros", onde ocorrem as ligações do tipo pi. Então, o carbono sp3 faz duas ligações do tipo sigma e duas ligações do tipo pi.

Na exemplificação do orbital sp1 amarre apenas duas bexigas e siga a explicação como feito anteriormente.

2ªetapa
Inicie esta etapa explicando aos alunos que um mesmo elemento químico pode formar duas ou mais substâncias simples diferentes entre si, ao compartilhar elétrons. Esse fenômeno é chamado de alotropia e as variedades alotrópicas do elemento irão depender da quantidade de átomos e/ou da estrutura cristalina da substância.

Mostre à turma as figuras de lápis e de um diamante e explique que ambos possuem formas alotrópicas do carbono na natureza. Estimule os alunos a darem opiniões sobre quais semelhanças eles acreditam que as figuras apresentam. Fale que no caso do carbono, existem cinco formas alotrópicas conhecidas: grafite (ou grafita), diamante, fulerenos, nanotubos e grafeno. Explique que a diferença nas estruturas destas substâncias está na forma que os átomos de carbono estão arranjados e que esta diferença influi na dureza dos materiais obtidos. Comente que enquanto o grafite é muito frágil (exemplo: a grafite do lápis quebra-se facilmente e devido à essa propriedade também é possível "riscar" o papel e o risco obtido é uma parte do grafite que se desprendeu e passou para o papel).

Em condições normais de temperatura e pressão (CNTP), o carbono na forma de grafite é formado por três átomos e seus três elétrons estão nos orbitais híbridos planares sp2 e um no orbital "p". Desta maneira, são formadas células hexagonais, como mostra a figura a seguir. As camadas hexagonais são unidas por forças de Van der Waals que promovem a fragilidade do material e o deslocamento dos elétrons no orbital pi (π) garante a condução de eletricidade.

Apresente outra forma aos alunos, explique que quando o carbono é submetido a altas pressões, ele gera a forma do diamante e, neste caso, tem-se quatro átomos de carbono com quatro elétrons em orbitais sp3. Devido à estrutura cúbica e às ligações entre os átomos de carbono, este é um material que possui alta dureza. Comente com a turma que o diamante, além do uso conhecido em jóias, é um poderoso cortador de vidro por sua dureza!

Outra forma alotrópica muito interessante é o fulereno. Ele é composto por 60 átomos de carbono que estão organizados em pentágonos, formando uma estrutura tridimensional similar a uma bola de futebol.

Figura 1 - Representação das estruturas do diamante, grafita (ou grafite) e fulereno.
(fonte: Usberco, J.; Salvador, E. "Química" - volume único. 5a edição. São Paulo: Saraiva, 2002. p.108.)

Da mesma família que os fulerenos, um dos produtos da nanotecnologia (tecnologia que utiliza materiais com dimensões de 1/109 metros), os nanotubos de carbono possuem estrutura cilíndrica e possuem em seus extremos hemiesferas, conhecidas como fulerenos. Por serem derivados do grafite, também são condutores de eletricidade e, devido ao tamanho nanométrico, têm essa propriedade potencializada.

Figura 2 - Representação esquemática da estrutura de nanotubos de carbono (a) nanotubo de parede simples, (b) nanotubo de parede múltipla.
(fonte: Zarbin, A. J. G. Química de (nano)materiais. Química Nova, vol. 30, no. 6, 2007, p. 1473.)

Comente com os alunos que dentre as famílias de estruturas de carbono, a descoberta mais recente foi o grafeno. A estrutura desta substância é formada por folhas de átomos de carbono com hibridização sp2 densamente compactados e a espessura de apenas um átomo de carbono. Ele foi descoberto em 2004 no Centro de Nanotecnologia da Universidade de Manchester, pelos cientistas Konstantin Novoselov e Andre Geim, que foram laureados em 2010 com o Prêmio Nobel. Sua estrutura é cristalina hexagonal, bidimensional, semelhante a um favo de mel. O grafeno é uma folha plana de átomos de carbono compactados em uma grade de duas dimensões e faz parte de estruturas de carbono em outras dimensões, pode se apresentar montado como fulerenos, enrolados como nanotubos ou empacotados como grafite.

Explique que, por possuir a espessura de um único átomo, o grafeno é um material transparente que absorve somente 2% da luz que incide sobre ele. Sendo a ligação C-C sp2 a de mais alto valor de energia, o grafeno possui resistência mecânica maior que o diamante apesar de ser altamente flexível.

Comente que o modelo teórico do grafeno já existia desde que se compreendeu a estrutura lamelar do grafite. Também já havia sido proposto que os nanotubos seriam formados pelo enrolamento de folhas desse material. Contudo, o grafeno puro nunca havia sido isolado, até que um cientista resolveu separar as camadas do grafite utilizando fita adesiva.

Discuta, então, que apesar desse método ter sido eficiente para a obtenção de uma folha de grafeno isolada, ele não é eficaz para ser usado para produção em larga escala. Para isso, vários métodos de obtenção foram desenvolvidos, conforme o mostrado na reportagem.

Por apresentar propriedades únicas, aliando alta resistência à maleabilidade, o grafeno pode ter várias aplicações industriais, como na fabricação de transistores moleculares de alta frequência ou na criação de computadores ultrarrápidos, por exemplo.

Avaliação
Peça para os alunos redigirem um texto explicando as diferenças entre as formas alotrópicas do carbono e que discutam a relação entre as propriedades físicas e químicas e suas possíveis aplicações.

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Multiplicação e divisão de números naturais por base 10

Trabalhe com a turma a regularidade das operações por 10, 100 ou 1.000 e ajude os alunos a utilizar as potências de 10 para resolver problemas com cálculo mental 

Objetivos
- Observar a regularidade envolvida na multiplicação e na divisão de um número natural por 10, 100 ou 1.000
- Explicitar as operações ocultas no sistema numérico e compreender que elas determinam a posição ocupada pelos algarismos em todos os números
- Utilizar a estratégia multiplicativa por potências de 10 para resolver problemas com o cálculo mental
Conteúdo
Números e operações
Anos
3º e 4º anos
Tempo estimado
Três aulas
Material necessário
Uma calculadora por aluno ou por dupla
Desenvolvimento
1ª etapa
Apresente aos alunos uma lista de multiplicações por 10 envolvendo unidades, dezenas e centenas. Por exemplo: 4 X 10, 25 X 15, 3 X 10, 30 X 10 e 300 X 10. Peça que eles resolvam utilizando a calculadora. Caso não saibam operá-la, realize algumas atividades para que se familiarizem com a máquina e, durante a atividade, circule pela sala para verificar se estão conseguindo. Solicite que anotem os resultados. Os cálculos podem ser feitos individualmente ou em duplas. Em seguida, com a ajuda da turma, levante quais os resultados obtidos e anote-os no quadro. Pergunte o que os estudantes podem observar em relação aos resultados das multiplicações. Questione se há alguma semelhança entre eles e qual é. É importante que eles não só notem que ao multiplicar um número natural por 10 se acrescenta o zero à direita desse número. É preciso que compreendam que o valor muda com o acréscimo do dígito à direita, o número passa para outra ordem de grandeza. Para trabalhar isso, problematize os resultados obtidos. Por exemplo, em 72 X 10 = 720, questione se o 2 tem o mesmo valor em 72 e em 720 e quais são os valores em cada situação. Os alunos devem notar que no número 72, o 2 vale dois e que em 720, representa vinte. Isto é, a classe identificará a multiplicação oculta no sistema numérico, que determina a posição que os algarismos ocupam nos números.
2ª etapa
Selecione alguns números e pergunte à classe quais deles poderiam ser resultado de uma multiplicação por 10. Você pode usar, por exemplo: 168, 7.980, 7.809, 9.800, 5.076 e 3.460. É esperado que as crianças respondam que podem ser todos os terminados em zero (no caso dos exemplos, 7.980, 9.800 e 3.460). É possível que elas fiquem em dúvida se 9.800 é uma resposta válida, pois termina em dois zeros. Problematize a questão.
3ª etapa
Proponha que as crianças completem a tabela abaixo:
Cálculo Quociente Resto
20 : 10
340 : 10
1.230 : 10
1.235 : 10
1.230 : 100

Faça o mesmo processo da etapa anterior, pedindo que os estudantes usem a calculadora nas resoluções e observem a regularidade envolvida nos resultados. Na divisão, o processo é o oposto da multiplicação, a ordem de grandeza diminui e quando o número natural termina em zero, deve-se retirar no número um, dois ou três zeros.
4ª etapa
Proponha agora multiplicações e divisões por 100 e por 1.000. Siga a mesma sequência realizada na multiplicação de números naturais por 10, selecionando os números para os cálculos com intencionalidade. Por exemplo, para a multiplicação por 100, proponha 23 X 100, 20 X 100, 105 X 100, 123 X 100 e 120 X 100. Questione o que os alunos podem concluir sobre as multiplicações e divisões realizadas nesta etapa. Para sistematizar as descobertas, escreva coletivamente a regra no quadro e oriente que todos a anotem no caderno. Espera-se que os alunos tenham identificado a regularidade envolvida nos processos multiplicativos. Multiplicar qualquer número natural por 10, 100 e 1.000 muda a ordem de grandeza, acrescentando-se um, dois ou três zeros, respectivamente, à direita da cifra. Por exemplo, em 23, o 3 vale três, mas depois que ele é multiplicado por 100, resultando em 2.300, o 3 vale trezentos. Explique que a regra elaborada em conjunto pode ser utilizada para solucionar outros cálculos, a fim de agilizar e facilitar a resolução. Assim, não há a necessidade de "armar a conta" nem utilizar a calculadora.
5ª etapa
Desafie a criançada apontar quais dos números a seguir poderiam ser resultado de uma multiplicação por 100: 450, 400, 2.350, 2.300, 2.003, 2.030 e 1.200.000. Observe as respostas apresentadas e questione as escolhas: 2.030 pode ser resultado de uma multiplicação por 100? Por quê? E 1.200.000?
6ª etapa
Peça que os alunos resolvam mentalmente novos cálculos envolvendo 10, 100 e 1.000 (sem usar a calculadora). Peça que utilizem o que aprenderam sobre a regularidade envolvida nesse tipo de cálculo sistematizado anteriormente. Quando terminarem os cálculos, oriente as crianças a checar os resultados na calculadora para conferir se estão corretos. Por exemplo:
45 X ___ = 4.500
128 X ___ = 1.280
17 X ____ = 17.000
___ X 10 = 320
___ X 100 = 800
___ X 100 = 1.300
___ X 100 = 4.000
___ X 1.000 = 7.000
___ X 1.000 = 29.000
___ X 1.000 = 50.000
Em seguida, oriente o grupo a registrar as divisões que podem ser elaboradas com base nas multiplicações feitas nessa etapa, por exemplo, em referência à primeira (45 X ___ = 4.500), é possível ter 4.500 : 100 = 45 e 4.500 : 45 = 100.
7ª etapa
Desafie os estudantes a resolver outra série de cálculos com múltiplos de 10, 100 e 1.000 (como 20, 320 e 1.300) usando procedimentos próprios. Assim como na etapa anterior, a calculadora só deve ser usada ao final da atividade, para conferir os resultados. Peça que registrem as estratégias usadas. Ao se apropriar as multiplicações e divisões trabalhadas anteriormente, os alunos começam a utilizá-las como apoio na resolução de cálculos mais complexos, como os propostos agora. Eles podem lançar mão da decomposição dos números, por exemplo. Caso o cálculo seja 20 X 43, a turma pode, por exemplo, fazer 10 X 2 X 43. Socialize as estratégias, perguntando como os estudantes resolveram os cálculos. Registre no quadro as diferentes propostas para que todos possam se apropriar das estratégias dos colegas.
Avaliação
Elabore uma série de situações-problema envolvendo as multiplicações e divisões por 10, 100 e 1.000, como: "Paula guarda anéis e pulseiras em caixinhas. Em cada uma delas, podem ser colocadas 10 peças. Se Paula tem 8 caixas, quantas bijuterias ela pode guardar?". Oriente a resolução em duplas, para que o grupo possa debater as estratégias. Quando todos tiverem terminado, organize a socialização das estratégias.

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O que acontece no corpo quando fazemos exercício?

Proponha dois tipos de corrida aos alunos e explique, com o auxílio de um frequencímetro, porque quando praticamos atividade física o coração acelera e a respiração muda

Objetivos

• Aprender os procedimentos básicos para medir a frequência cardíaca

• Compreender a relação entre a intensidade do exercício e a alteração na frequência cardíaca

• Entender a frequência cardíaca como um indicador da intensidade dos exercícios, o gasto de energia e o nível de condicionamento físico.

Conteúdo

• Fisiologia do coração

• Frequência cardíaca

• Corridas de atletismo

Anos
3º e 4º anos

Tempo estimado
Uma aula

Materiais necessários
Giz, lousa pequena, lápis, papel em branco, cones, apito e frequencímetro (para quem tiver esta possibilidade).

Introdução
O primeiro ciclo do Ensino Fundamental é um bom momento para entender os significados atribuídos ao corpo e aos "padrões" de beleza, temas relacionados ao exercício físico, bem estar e saúde. E também para abordar "Meio Ambiente e Saúde", tema transversal apontado nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), que deve aparecer nas aulas de Educação Física. Introduzir noções de Fisiologia é importante e ajuda o aluno a entender o que acontece com o corpo quando praticamos exercícios. Este conhecimento é fundamental, já que ao concluir o Ensino Médio o estudante deve saber planejar um programa de atividade física. Use este plano de aula como referência para ensinar as reações do organismo, mais precisamente do sistema cardiorrespiratório, durante corridas de velocidade e resistência.

Desenvolvimento
Preparação
É preciso cuidar para que o espaço esteja organizado antes da aula, quando os alunos irão praticar as corridas de velocidade e de resistência. Para a corrida de velocidade a sugestão é construir algumas raias de aproximadamente 30 metros. Com giz, fita ou cones faça as marcações no chão e numere as raias de 1 a 4 (conforme a figura 1).

Já para a corrida de resistência monte um circuito com os cones para que as crianças possam correr baterias de mais ou menos 5 minutos cada (veja a figura 2):

Para o registro da frequência cardíaca, faça uma planilha de monitoramento para os alunos anotarem os valores ao longo da aula. Esta planilha pode ser chamada de cartão da frequência cardíaca e deve ser entregue a todos os alunos. O modelo abaixo é uma proposta que poderá ser utilizada durante a atividade:

Aula 1
Faça uma roda e apresente as expectativas de aprendizagem aos alunos. Para descobrir o que a turma já sabe, elabore perguntas como:

- Quem sabe o que é frequência cardíaca?
- Qual é a relação entre frequência cardíaca e exercício físico?
- Como medimos a frequência cardíaca?
- O que acontece com o nosso coração quando praticamos exercício?

Registre as respostas em um diário para acompanhar o trabalho e a evolução do conhecimento das crianças sobre o tema. Explique detalhadamente qual será a rotina da aula. É fundamental que os alunos saibam com clareza que participarão de uma atividade que envolve corridas de velocidade e resistência e que deverão medir e registrar a frequência cardíaca antes e após as corridas. Para isso todas receberão o cartão da frequência e um lápis.

Mostre que na ausência de um frequencímetro também é possível medir a frequência cardíaca. Basta colocar os dedos indicador e médio da mão esquerda na artéria radial (região do pulso direito, abaixo do dedão). Ou colocar os dedos na artéria carótida, no pescoço. Conte as pulsações durante 10 segundos e multiplique por 6 ou conte as pulsações durante 15 segundos e multiplique por 4 para indicar os batimentos cardíacos por um minuto. Lembre-se de que estamos falando com crianças e que elas precisarão de ajuda para aprender a medir sua frequência cardíaca. Fotos e vídeos podem ser úteis neste processo. Se tiver um frequencímetro à disposição, estabeleça uma estratégia como um sorteio ou um rodízio entre as crianças para definir quem vai usar o aparelho.

Chegou a hora de iniciar a atividade prática. Ela será dividia em três momentos:
1º Momento - Todos os alunos devem medir sua frequência em repouso, isto é, antes de iniciar o exercício, e anotar no cartão. É importante que os alunos não estejam em movimento, pois um alto nível de atividade motora eleva a frequência. Procure auxiliar para que todos tenham este valor registrado na folha. Os alunos podem ajudar uns aos outros, já que alguns vão demonstrar mais ou menos facilidade neste processo.

2º Momento - Após um breve aquecimento, os meninos e as meninas vão ser convidados a participar das corridas de velocidade. Realize algumas baterias de corrida para que os alunos possam identificar as características desta modalidade, principalmente nas variáveis intensidade e duração. Após as primeiras vivências, organize o grupo em duplas e peça para que um ajude o outro a registrar a frequência cardíaca. Cada criança deve participar de uma bateria e o colega deve ajudar a anotar o valor obtido, isso logo após o fim da atividade. Após as baterias, verifique se todos têm os registros no cartão.

3º Momento - Organize o grupo para a corrida de resistência, que deve durar mais ou menos cinco minutos. A atividade deve ter longa duração e baixa intensidade. O procedimento é o mesmo do 2º momento. Ao final de cada bateria os alunos devem anotar sua frequência no cartão que será entregue no início da aula. Mais uma vez o trabalho em duplas pode ajudar neste processo.

Finalize com uma roda de conversa. Com o seu diário nas mãos e com as crianças em posse dos cartões de frequência, faça perguntas semelhantes a estas:

-Vocês perceberam alguma diferença entre a frequência cardíaca inicial e a final? Qual?
- Como classificariam as corridas quanto aos critérios intensidade e duração?
- Qual a corrida mais cansativa?
- Qual aquela que vocês gostaram mais?
- O que aconteceu com o nosso coração durante as corridas? Ele "bateu" mais rápido? Por quê?

Lembre-se de registrar as respostas (os depoimentos) no seu diário de bordo. Peça para os meninos e as meninas consultarem o cartão de frequência.
Avalie junto com os alunos o que aprenderam. Dependendo das dificuldades encontradas esta atividade pode ser repetida nas próximas aulas e outros temas podem surgir para serem aprofundados.

Avaliação
A roda de conversa no fim da aula e o diário são bons instrumentos para avaliar se os alunos perceberam que o exercício físico faz aumentar a frequência cardíaca, o que vão compreender se conseguirem medir esta alteração com o aparelho ou manualmente. Com a prática de diferentes modalidades de corrida (velocidade e resistência) a turma terá subsídios para entender a frequência como um indicador da intensidade do exercício, o gasto de energia e o condicionamento físico.

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Brincadeiras do Sul: Coelho Sai da Toca

Como brincar: Em trios, duas crianças formam a toca e uma será o coelho. Para fazer a toca, a dupla junta as mãos no ar, formando uma casinha. Quem interpreta o coelho fica agachado entre elas, embaixo dos braços. Essa estrutura se repete com os demais participantes da brincadeira. Uma das crianças fica em pé entre as tocas e deve gritar: "Coelho sai da toca!". Ao fazer isso, os coelhos entocados precisam trocar de casinha. Já a criança que estava no meio deve tentar roubar a toca de alguém. Se conseguir, aquela que ficou sem toca é a que passa a gritar no centro do espaço. Ela também pode falar "Toca troca de lugar!". Nesse caso, são as tocas que devem trocar de coelho.

Variações: Em alguns lugares a toca é formada por um círculo desenhado com giz no chão ou por um aro ou bambolê. A dinâmica da brincadeira é a mesma, mas não há a possibilidade de a toca trocar de lugar.

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Pesquisa sobre brincadeiras de pegar

Objetivo
- Ampliar o repertório de brincadeiras tradicionais de pegar.

Material necessário
- Livros sobre as brincadeiras de pegar, como:
   - Arte de Brincar - Brincadeiras e Jogos Tradicionais (Adriana Friedmann, 216 págs., Ed. Vozes, tel. (24) 2233-9000, 36,60 reais)
   - Giramundo e Outros Brinquedos e Brincadeiras dos Meninos do Brasil (Renata Meirelles, 208 págs., Ed. Terceiro Nome, tel. (11) 3816-0333, 63 reais).
- Site Mapa do Brincar.
- Computador com acesso à internet.

Flexibilização
Ter um intérprete de Libras é fundamental para que as crianças com deficiência auditiva participem desta pesquisa. É importante, também, que os pequenos sejam acostumados, desde cedo, a fazer a leitura orofacial, para que se comuniquem melhor com os colegas. O uso de imagens - tanto nos livros, quanto no computador, ajuda as crianças surdas nesta atividade. Há, também, sites cujos conteúdos são interpretados em Libras. Se necessário, amplie o tempo de pesquisa para que a criança conte com a ajuda dos familiares e do educador responsável pelo atendimento educacional especializado.

Desenvolvimento
Converse com os pequenos sobre as brincadeiras de pegar que eles conhecem e convide-os a conhecer outras, consultando livros e o site recomendado. Acompanhe o momento, ajudando a turma a manipular o material e a navegar no site. Destaque a importância de buscar dados históricos e culturais sobre a diversão. Peça também que conversem com os familiares para descobrir outras regras e nomes da brincadeira: eles podem mandar bilhetes. Para socializar as informações, reúna a turma e convide o grupo a comparar as novidades com as brincadeiras já conhecidas. Quais as diferenças? Alguma novidade é parecida com as brincadeiras realizadas? Como são as regras?

Avaliação
Observe se as crianças estabelecem relações entre as brincadeiras novas e as já conhecidas.

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